Dubbio Analisi 2

[Smallman_647]

Non so se è questa la sezione più adatta, comunque ci provo lo stesso....

A breve dovrò svolgere l'esame di Analisi Matematica(1 e 2), e mi sento preparato. Però ci sono alcuni dubbi che non sono ancora riuscito a togliermi, tipo:

Quando si studiano i massimi e minimi di una funzione a 2 variabili ci può essere il caso in cui il determinante hessiano sia uguale a 0. Questa condizione non fornisce abbastanza informazioni per capire se i punti critici siano di massimo o di minimo.

Percio', vedendo un po' in giro, ho letto che bisogna fare un studio locale del punto critico da studiare, per vedere se nell'intorno del punto la funzione ammette sia valori positivi che negativi, ed, in questo caso, sarebbe un punto a sella...

Ma non saprei procedere da solo per dedurlo...
Sono ben accetti esempi...

[Naked]

Ci sono diversi metodi, quello più immediato è quello grafico: disegni il dominio di una funzione, trovando i punti (curve in genere) in cui essa si azzera, dividendo il dominio in intervalli e vedi se in questi intervalli la funzione è positiva o negativa. Se trovi ad esempio che in due intervalli la funzione è positiva, allora la curva che li divide (dove la funzione vale 0) è un luogo dei punti di minimo, e viceversa. Se invece da una parte è positiva e dall'altra negativa allora è un flesso.
Esempio: f(x,y)=y^2 (y+2x-x^2). I punti critici sono (1, -2/3) e tutti i punti (a,0). P risulta di massimo, mentre in (a,0) l'hessiano è nullo. Cerchi i punti in cui f si annulla: risulta essere la parabola y=x^2 - 2x.
Il grafico è il seguente:

Spoiler:

Per x<0 e x>2 i punti sono di massimo (debole), per 0<x<2 di minimo (debole), (0,0) e (2,0) sono di flesso.
Ovviamente tutte queste affermazioni sono giustificate dal fatto che questi punti sono critici, quindi per forza di massimo, minimo o flesso. Sapere che la funzione da una parte &#232; positiva e dall'altra &#232; negativa, ad esempio, non basta per affermare che i punti in mezzo sono di flesso.
Buona fortuna per l'esame, io l'ho dato a luglio

[Smallman_647]

Ci sono diversi metodi, quello pi&#249; immediato &#232; quello grafico: disegni il dominio di una funzione, trovando i punti (curve in genere) in cui essa si azzera, dividendo il dominio in intervalli e vedi se in questi intervalli la funzione &#232; positiva o negativa. Se trovi ad esempio che in due intervalli la funzione &#232; positiva, allora la curva che li divide (dove la funzione vale 0) &#232; un luogo dei punti di minimo, e viceversa. Se invece da una parte &#232; positiva e dall'altra negativa allora &#232; un flesso.
Esempio: f(x,y)=y^2 (y+2x-x^2). I punti critici sono (1, -2/3) e tutti i punti (a,0). P risulta di massimo, mentre in (a,0) l'hessiano &#232; nullo. Cerchi i punti in cui f si annulla: risulta essere la parabola y=x^2 - 2x.
Il grafico &#232; il seguente:

Spoiler:

Per x<0 e x>2 i punti sono di massimo (debole), per 0<x<2 di minimo (debole), (0,0) e (2,0) sono di flesso.
Ovviamente tutte queste affermazioni sono giustificate dal fatto che questi punti sono critici, quindi per forza di massimo, minimo o flesso. Sapere che la funzione da una parte &#232; positiva e dall'altra &#232; negativa, ad esempio, non basta per affermare che i punti in mezzo sono di flesso.
Buona fortuna per l'esame, io l'ho dato a luglio

Grazie della spiegazione, anche se forse un po' in ritardo...
Sul mio libro consiglia di sostituire alla funzione una generica retta (cio&#232; un fascio di rette)passante per il punto in cui si annulla e dopo derivare la funzione &#232; porla uguale a 0. Se la "m"(coefficiente angolare del fascio di rette) assume sia valori negativi che positivi in quell'intorno, allora la funzione ammette un punto a sella. E cos&#236; ho fatto al compito...

[Naked]

Avevo letto anche questo metodo da qualche parte, ma mi sono sempre trovato meglio con quello grafico. De gustibus

[Derfel]

Ho fatto sia analisi 1 che 2, sinceramente i massi e i minimi non &#232; che li abbiamo toccati cos&#236; tanto ad ingegneria.

Che facolt&#224; fai scusa?

[Smallman_647]

Ho fatto sia analisi 1 che 2, sinceramente i massi e i minimi non è che li abbiamo toccati così tanto ad ingegneria.

Che facoltà fai scusa?

Ingegneria Informatica a Bari.

[John Fitzgerald Gianni]

Rispolvero per chiedere a qualche anima pia di rispondermi.
Ho dei dubbi abbastanza fastidiosi.

1)Il limite di x chetende a 0 di [1-cos^2(2x)]/x^2 vi da indeterminato (0/0) anche dopo aver applicato de l'Hopital?

2)Il piano che contiene P [0,0,0] e l'asse delle y &#232; dato da x-z=0?

Grazie

[Smallman_647]

Rispolvero per chiedere a qualche anima pia di rispondermi.
Ho dei dubbi abbastanza fastidiosi.

1)Il limite di x chetende a 0 di [1-cos^2(2x)]/x^2 vi da indeterminato (0/0) anche dopo aver applicato de l'Hopital?

2)Il piano che contiene P [0,0,0] e l'asse delle y &#232; dato da x-z=0?

Grazie

Per la prima, il risultato dovrebbe essere 4. Perch&#232; &#232; infatti il limite notevole {1-cos^2(f(x))}/(fx)^2

p.s. Questa &#232; analisi 1....

[John Fitzgerald Gianni]

Non mi andava di aprire un nuovo topo
Sicuro sia un limite notevole?
&#200; cos^2 di 2x, non di x.

[Smallman_647]

Non mi andava di aprire un nuovo topo
Sicuro sia un limite notevole?
&#200; cos^2 di 2x, non di x.

Allora ho sparato una mezza minchiata. Cio&#232; &#232; un limite notevole, ma non quello che ho scritto io.

Allora, il passaggio corretto &#232;:

1-cos^2(2x)=sin^2(2x) (dalla trigonometria)

quindi ---->sin^2(2x)/x^2 questo &#232; il limite notevole sinx/x "amplificato"

cio&#232; &#232; uguale a (sin(2x)/x)^2 ---> all'interno delle parentesi pi&#249; esterne esce 2 che elevato al quadrato da 4.

Probabilmente non ci hai capito una mazza, ma &#232; normale...


p.s. Comunque esiste il limite notevole (1-cos(2x))/x^2 che &#232; uguale a 2.

[Smallman_647]

Per quanto riguarda il secondo punto, &#232; impossibile che sia quella la traccia. Deve o essere parallelo o perpendicolare all'asse y. Oppure, se contenesse l'asse y, ci vorrebbero almeno 2 punti per trovare il piano.

[John Fitzgerald Gianni]

Beh se contiene l'asse y ci possiamo ricavare infiniti punti su quell'asse...

Allora ho sparato una mezza minchiata. Cioè è un limite notevole, ma non quello che ho scritto io.

Allora, il passaggio corretto è:

1-cos^2(2x)=sin^2(2x) (dalla trigonometria)

quindi ---->sin^2(2x)/x^2 questo è il limite notevole sinx/x "amplificato"

cioè è uguale a (sin(2x)/x)^2 ---> all'interno delle parentesi più esterne esce 2 che elevato al quadrato da 4.

Probabilmente non ci hai capito una mazza, ma è normale...


p.s. Comunque esiste il limite notevole (1-cos(2x))/x^2 che è uguale a 2.

Ehm, si, però quanto ti dà il limite ?

[Smallman_647]

Beh se contiene l'asse y ci possiamo ricavare infiniti punti su quell'asse...

Che vuol dire?
Tu devi trovare un piano particolare. Se tu sai che il piano contiene
l'asse y e passa per un punto, ti serve la terza informazione.

Ehm, si, però quanto ti dà il limite ?

L'ho scritto due volte:il risultato è 4.

[John Fitzgerald Gianni]

Esiste solo un piano che contiene O e l'asse y.
Forse facendo la normale a u [0,1,0] che sarebbe il versore di x...

Allora ho sparato una mezza minchiata. Cio&#232; &#232; un limite notevole, ma non quello che ho scritto io.

Allora, il passaggio corretto &#232;:

1-cos^2(2x)=sin^2(2x) (dalla trigonometria)

quindi ---->sin^2(2x)/x^2 questo &#232; il limite notevole sinx/x "amplificato"

cio&#232; &#232; uguale a (sin(2x)/x)^2 ---> all'interno delle parentesi pi&#249; esterne esce 2 che elevato al quadrato da 4.

Probabilmente non ci hai capito una mazza, ma &#232; normale...


p.s. Comunque esiste il limite notevole (1-cos(2x))/x^2 che &#232; uguale a 2.

Non mi convince.
Sostituendo alla x di [sen(2x)/x]^2 esce 0/0.

[Smallman_647]

Non mi convince.
Sostituendo alla x di [sen(2x)/x]^2 esce 0/0.

Ma &#232; un limite notevole. E' normale che ti esce 0/0.

Scusa, secondo te, quanto &#232; il valore di "lim x-->0 di sinx/x"?