Enigma a catena

[Majin Broly]

Non ricordo se era già stato proposto (e magari da me ) in un altro topic di enigmi, alla peggio verrà risolto subito:

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211

Prossimo elemento della serie?

[sssebi]

31131211131221

[Majin Broly]

Buona per sssebi.

[sssebi]

Ci sono 100 interruttori, uno dopo l'altro, collegati ognuno ad una lampadina. Io premo tutti gli interruttori, poi li premo a due a due (2, 4, 6, 8,...), poi a tre a tre (3, 6, 9, 12,...), poi a quattro a quattro, a cinque a cinque e così via fino a 100.

1) Alla fine quante e quali sono le lampadine che rimangono accese? [Medio]

2) Cos'hanno in comune? [Facile, ovviamente se conosci la 1]

3) Perchè? [Difficile]

[Davyl]

Ci sono 100 interruttori, uno dopo l'altro, collegati ognuno ad una lampadina. Io premo tutti gli interruttori, poi li premo a due a due (2, 4, 6, 8,...), poi a tre a tre (3, 6, 9, 12,...), poi a quattro a quattro, a cinque a cinque e così via fino a 100.

1) Alla fine quante e quali sono le lampadine che rimangono accese? [Medio]

2) Cos'hanno in comune? [Facile, ovviamente se conosci la 1]

3) Perchè? [Difficile]

Vediamo un po' se ho capito bene il testo e ho scritto bene l'algoritmo. Il programma che ho fatto mi trova queste lucine qui:

1
4
9
16
25
36
49
64
81
100

Cos'hanno in comune? Chiaramente nessuno di questi è numero primo ed hanno un numero dispari di divisori tali che il risultato della divisione sia un numero naturale. Sono tutti quadrati perfetti.
Perché? Forse non ho capito di cosa dover spiegare il motivo. Il fatto che abbiano un numero dispari di divisori implica che se si comincia con l'accenderli, si finirà necessariamente con l'accenderli, ottenendo quindi i numeri delle lucine rimaste accese alla fine.
Invece, che le lucine degli interruttori identificati da un quadrato perfetto rimangano accese deriva dalla considerazione che questi debbano necessariamente avere un numero dispari di divisori. Infatti, ammettendo per assurdo che un quadrato abbia un numero pari di divisori naturali, avremmo, escludendo 1 e il numero stesso, la radice naturale e una serie numericamente dispari di termini, portando quindi la divisione per uno di questi a non avere alcun quoziente tale che sia anche esso un divisore, il che è un assurdo. Prendiamo il caso più banale, di un quadrato X con 4 divisori:
- 1
- radice di X
- Y
- X

Escludendo 1 ed X, rimangono radice di X ed Y. Per definizione, un quadrato è un numero tale che se diviso per la sua radice, da' come risultato ancora la sua radice. Quindi dividendo X per radice di X otteniamo radice di X. E allora per Y che si fa? Dividendo X per Y dovremmo avere un numero Z, ma avere un numero Z vuol dire che anche Z è divisore naturale per X, quindi il numero dei divisori passa da pari a dispari.

[sssebi]

Perfetto Davyl, era proprio la definizione che volevo, data anche in maniera più dettagliata di quanto mi potessi aspettare. A te...

[Davyl]

Un classico:
Una piccola città, in qualche sperduto luogo della terra, è infestata dai lupi mannari, cioè ci sono alcune persone che durante le notti di luna piena si trasformano in lupi feroci. Si può quindi ragionevolmente pensare che almeno uno degli abitanti di questo strano luogo sia un lupo mannaro. Per fare fronte a questa situazione il sindaco della cittadina emette un'ordinanza, la quale prevede che ogni cittadino che sappia di essere un lupo mannaro, si debba uccidere appena lo scopre. Dato che gli abitanti del luogo sono tutti dei cittadini rispettosi delle leggi, si può dare per certo che effettivamente ogni abitante che scopra di essere un lupo mannaro si uccida. Purtroppo però, un lupo mannaro non si accorge di esserlo e quindi lo può solo capire dall'osservazione di quello che gli sta intorno. A questo punto occorre ricordare che durante tutte (e sole) le notti di plenilunio, ogni cittadino incontra tutti gli altri, e pertanto è in grado di vedere i lupi mannari anche se non può comunicare con loro. Dopo la terza notte di luna piena vengono ritrovati i cadaveri di alcuni lupi mannari. Voi dovete scoprire quanti sono i lupi ritrovati e soprattutto perché sono stati ritrovati soltanto dopo la terza notte, mentre nelle due precedenti non si è avuto alcun ritrovamento.

[sssebi]

Partiamo da minimo un lupo. Non può essere perchè si renderebbe subito conto di essere l'unico dato che non vede nessun'altro lupo e almeno uno deve esserci per forza, quindi già il primo giorno si ucciderebbe. Se invece i lupi fossero due, nessuno dei due si ucciderebbe perchè ne vede uno, ma siccome per lo stesso motivo l'altro non si uccide entrambi capiscono di essere lupi sennò si sarebbe verificato il primo caso. Continuando con questo ragionamento, se i lupi fossero tre allora al terzo giorno il terzo lupo si renderebbe conto che i lupi non possono essere neanche due e quindi il terzo è lui e si ucciderebbe insieme agli altri due che metteranno fine alla loro vita per lo stesso motivo.

Però gli abitanti devono essere anche tutti intelligenti oltre che rispettosi alle leggi.

[Davyl]

Vai pure.

[sssebi]

C'è una strada senza luci quindi ho pensato di montarci dei lampioni ai lati. Inizio dal lato sinistro, monto 5 lampioni e poi me ne vado a casa. Il giorno dopo arriva Davyl e monta 3 lampioni nel lato destro della strada, poi torno io a continuare il lavoro di Davyl sul lato destro mentre lui va a continuare quello mio del giorno prima sul lato sinistro. Alla fine terminiamo entrambi il lavoro allo stesso momento, con un numero uguale di lampioni sia sul lato sinistro, sia sul lato destro della strada.

1) Quando stavamo montando i lampioni contemporaneamente, chi era più veloce a montare? [Facile]

2) Chi ha montato più lampioni? [Medio]

3) Quanti ne ha montati in più dell'altro? Mostrare il ragionamento. [Difficile]

[Paolo Vespa]

Non sono un granchè a risolvere enigmi, comunque ci provo:

1) Tu.
2) Sempre tu.
3) Andando sul lato destro della strada, tu avevi uno svantaggio di due lampioni. Il quesito dice che sia tu che Davyl avete completato allo stesso momento il lavoro. Questo comporta che lavorando sul lato in cui Davyl aveva iniziato a montare i lampioni (quindi sulla destra), tu hai montato due lampioni in più. Poi aggiungiamo anche i due lampioni che avevi montato in più all'inizio e avremo una differenza di quattro lampioni tra quelli montati da te e quelli montati da Davyl. Quindi il risultato è 4.

[sssebi]

Ok, può andare bene. Per chi si confonde a parole lo chiarisco in termini matematici:

x = numero lampioni in un lato della strada

Io ---> 5 a sinistra; x-3 a destra; Totale x+2
Davyl ---> x-5 a destra; 3 a sinistra; Totale x-2
La differenza è di 4.

A Paolo il prossimo indovinello...

[Paolo Vespa]

Adesso non mi viene in mente niente. Se qualcuno ha qualche enigma da proporre, faccia pure...

[Daredevil]

Se la compri non la usi, se la usi non la vedi.

Facile, vediamo chi ci arriva prima

[Majin Broly]

Bara.